Diberikan titik titik A(2,6,5), B(-1,3,7), dan C(4,-1,8). Ruas garis berarah vektor AB dan BC berturut turut mewakili vektor vektor u dan v. tunjukan bahwa: a.(

Mata pelajaran: MATEMATIKA
Kelas: XII
Kategori: Vektor 
Kata kunci: vektor, persamaan vektor, operasi dot
Kode kategori berdasarkan kurikulum KTSP: 12.2.4


JAWABAN:

Berdasarkan soal di atas, diketahui bahwa koordinat titik A, B, dan C berturut-turut adalah A(2,6,5), B(-1,3,7), dan C(4,-1,8).

Oleh karena vektor u mewakili ruas garis berarah AB dan vektor v mewakili ruas garis berarah BC, maka
(i) u = AB
       = OB - OA                                        → O(0,0,0)
       = (-1 - 2) i + (3 - 6) j + (7 - 5) k
       = -3i - 3j + 2k

(ii) v = BC
       = OC - OB                                       → O(0,0,0)
       = (4 - (-1)) i + (-1 - 3) j + (8 - 7) k
       = (4 + 1) i - 4j + k
       = 5i - 4j + k

Poin a:

(2u) ∘ v = 2(-3i - 3j + 2k) ∘ (5i - 4j + k)
             = (-6i - 6j + 4k) ∘ (5i - 4j + k)
             = -6(5) + (-6)(-4) + 4(1)
             = -30 + 24 + 4
             = -2

Poin b:

u + v = (-3i - 3j + 2k) + (5i - 4j + k)
         = (-3 + 5)i + (-3 - 4)j + (2 + 1)k
         = 2i - 7j + 3k

u ∘ (u + v) = (-3i - 3j + 2k) ∘ (2i - 7j + 3k)
                 = -3(2) - 3(-7) + 2(3)
                 = -6 + 21 + 6
                 = 21


PENJELASAN LEBIH LANJUT:

Jika titik A(x₁, y₁, z₁) dan B (x₂, y₂, z₂), maka vektor yang mewakili ruas garis BA adalah p = (x₂ - x₁) i + (y₂ - y₁) j + (z₂ - z₁) k.

Jika vektor a = x₁ i + y₁ j + z₁ k dan vektor b = x₂ i + y₂ j + z₂ k, maka operasi dot kedua vektor adalah a ∘ b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.


Semoga membantu ya!